QR-Zerlegungsrechner

In der linearen Algebra erleichtert die Faktorisierung einer komplexen Matrix die Analyse. Die QR-Zerlegung ist eine Matrixzerlegung, die häufig verwendet wird, um lineare Systeme zu lösen, Eigenwerte zu erhalten und Berechnungen in Bezug auf Determinanten. Die QR-Zerlegung wird auch im maschinellen Lernen und in seinen Anwendungen verwendet.

Unser QR-Zerlegungsrechner berechnet die obere Dreiecksmatrix und die orthogonale Matrix aus der gegebenen Matrix.

So verwenden Sie unseren Rechner:

1. Fügen Sie Ihre Matrixgröße hinzu (Spalten <= Zeilen)

2. Matrixpunkte einfügen

3. Wählen Sie die Rundungsgenauigkeit

4. Ergebnisse ansehen

Auf dieser Seite erfahren Sie auch, wie Sie die QR-Zerlegung mit dem Gram-Schmidt-Verfahren berechnen und wo die QR-Zusammensetzung im wirklichen Leben verwendet wird.

Die QR-Zerlegung ist eine Technik, die verwendet wird, um eine Matrix in die Form A = QR umzuwandeln, wobei R gleich der oberen Dreiecksmatrix ist, Q gleich der orthogonalen Matrix ist und Q^(T)Q=I gilt, wobei Q^(T) die Qs' transponieren, und I ist die Identität der Matrix.

Die QR-Zerlegung ist auch als QR-Faktorisierung und QU-Faktorisierung bekannt und wird häufig bei der Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet.

Eine QR-Zerlegung kann durch verschiedene Methoden durchgeführt werden. Dazu gehören der Gram-Schmidt-Prozess, die Householder-Transformationen und die Givens-Rotationen.

Wir werden den Gram-Schmidt-Prozess durchgehen, und hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung der QR-Zerlegung damit:

A = QR,

A = Gegebene Matrix

Q = Orthogonale Matrix

R = Obere Dreiecksmatrix

1. Definiere Matrix A

2. Nehmen Sie Spalten von A und verarbeiten Sie sie durch den Gram-Schmidt-Prozess. Als Ergebnis erhalten Sie orthonormale Vektoren: e1, e2, ..., en.

3. Bilden Sie mit diesen Vektoren eine Matrix Q, indem Sie Vektoren als Spalten verwenden.

4. Bilde Matrix R durch Linksmultiplikation von A mit der Transponierten von Q (R = QᵀA)

Los geht's! Sie haben erfolgreich die QR-Zerlegung berechnet und sowohl die orthogonale Matrix als auch die obere Dreiecksmatrix begründet!

Der Gram-Schmidt-Prozess ist eine Folge von Operationen, die entworfen ist, um einen Satz linear unabhängiger Vektoren in einen äquivalenten Satz orthonormaler Vektoren zu transformieren.

Die Gram-Schmidt-Berechnung ist ein mathematisches Werkzeug, das verwendet wird, um die optimale Anpassung zwischen zwei Datensätzen zu bestimmen. Es wird häufig beim maschinellen Lernen und bei der Datenanalyse verwendet und kann hilfreich sein, wenn Sie versuchen, die besten Algorithmen oder Modelle für die Vorhersage von Ergebnissen zu finden. Kurz gesagt, der Gram-Schmidt-Algorithmus nimmt zwei Datensätze – sagen wir, Texte aus einem Trainingsdatensatz und Vorhersagen, die von einem auf diesen Daten basierenden Modell gemacht wurden – und erstellt einen Ähnlichkeitswert zwischen ihnen. Je höher die Punktzahl, desto ähnlicher sind die Sätze.

Der Gram-Schmidt-Prozess wird häufig verwendet, da er die Berechnungen in einer Orthonormalbasis verarbeitet, die oft eine viel einfachere Basis für Berechnungen ist.

Die Faktorisierung A = QR-Zerlegung einer Matrix A ist eine nützliche Technik zum Schätzen von Eigenwerten. Es existiert immer, wenn der Rang von A gleich der Anzahl der Spalten von A ist.

Das Konzept der QR-Faktorisierung ist ein sehr nützliches Framework für verschiedene statistische und Datenanalyseanwendungen. Eine davon ist die Lösung der kleinsten Quadrate.

Die QR-Faktorisierung ist auch eine häufig verwendete Komponente im maschinellen Lernen und seinen Anwendungen. Es kann beispielsweise verwendet werden, um ein Objekt automatisch aus einem Bild zu entfernen. Ein weiteres Beispiel ist das Extrahieren eines Bildes aus einem Videoclip.

Gander, W., 1980. Algorithmen für die QR-Zerlegung. Res. Rep, 80(02), S.1251-1268.

Goodall, CR, 1993. 13 Berechnung unter Verwendung der QR-Zerlegung.