Калькулятор QR-разложения

В линейной алгебре факторизация сложной матрицы упрощает анализ. QR-разложение - это матричное разложение, которое обычно используется для решения линейных систем, получения собственных значений и вычислений, связанных с определителями. QR-разложение также используется в машинном обучении и его приложениях.

Наш калькулятор QR-разложения вычислит верхнюю треугольную матрицу и ортогональную матрицу из заданной матрицы.

Чтобы воспользоваться нашим калькулятором:

1. Добавьте размер вашей матрицы (столбцы <= строки)

2. Вставить точки матрицы

3. Выберите точность округления.

4. Посмотреть результаты

На этой странице вы также узнаете, как рассчитать разложение QR с помощью процесса Грама – Шмидта и где композиция QR используется в реальной жизни.

QR-разложение - это метод, используемый для преобразования матрицы в форму A = QR, где R равно верхней треугольной матрице, Q равно ортогональной матрице и Q ^ (T) Q = I, где Q ^ (T) - Qs ' транспонировать, а I - идентичность матриц.

QR-разложение также известно как QR-факторизация и QU-факторизация, и оно обычно используется при решении линейных систем уравнений.

QR-разложение можно выполнить различными способами. К ним относятся процесс Грама – Шмидта, преобразования Хаусхолдера и вращения Гивенса.

Мы рассмотрим процесс Грама – Шмидта, и вот пошаговое руководство о том, как с его помощью рассчитать QR-разложение:

A = QR,

A = данная матрица

Q = ортогональная матрица

R = верхняя треугольная матрица

1. Определите матрицу A

2. Возьмите столбцы A и обработайте их с помощью процесса Грама – Шмидта. В результате вы получите ортонормированные векторы: e1, e2, ..., en.

3. Сформируйте матрицу Q из этих векторов, используя векторы в качестве столбцов.

4. Сформируйте матрицу R, умножив слева A на транспонированный Q (R = QᵀA).

Вот так! Вы успешно вычислили QR-разложение и основали как ортогональную матрицу, так и верхнетреугольную матрицу!

Процесс Грама-Шмидта - это последовательность операций, предназначенная для преобразования набора линейно независимых векторов в эквивалентный набор ортонормированных векторов.

Расчет Грама-Шмидта — это математический инструмент, используемый для определения оптимального соответствия между двумя наборами данных. Он часто используется в машинном обучении и анализе данных и может быть полезен при поиске лучших алгоритмов или моделей для прогнозирования результатов. Короче говоря, алгоритм Грама-Шмидта берет два набора данных — скажем, тексты из обучающего набора и прогнозы, сделанные на основе модели, основанной на этих данных, — и создает между ними оценку сходства. Чем выше балл, тем более похожи наборы.

Процесс Грама-Шмидта обычно используется, потому что он обрабатывает вычисления в ортонормированной базе, которая часто является гораздо более простой базой для выполнения вычислений.

Факторизация A = QR-разложение матрицы A - полезный метод оценки собственных значений. Он всегда существует, когда ранг A равен количеству столбцов A.

Концепция QR-факторизации - очень полезная структура для различных приложений статистики и анализа данных. Одно из них - решение задач наименьших квадратов.

QR-факторизация также является часто используемым компонентом в машинном обучении и его приложениях. Его можно использовать, например, для автоматического удаления объекта с изображения. Другой пример - извлечение изображения из видеоклипа.

Гандер, В., 1980. Алгоритмы QR-разложения. Res. Rep, 80 (02), стр.1251-1268.

Goodall, CR, 1993. 13 Вычисление с использованием QR-разложения.