Калькулятор Стандартного Отклонения

Стандартное отклонение — это статистическая мера вариации или дисперсии в заданном наборе данных. Если отклонение низкое, это указывает на то, что точки данных в наборе данных в среднем ближе к среднему значению набора данных. Высокое отклонение указывает на большую изменчивость между точками данных в наборе данных и значениями, разбросанными по более широкому диапазону.

«SD» обозначает стандартное отклонение и является наиболее широко используемым сокращением.

Чтобы рассчитать стандартное отклонение с помощью этого калькулятора, вам необходимо ввести свой набор данных в текстовое поле калькулятора. Разделите каждую точку данных пробелами, запятыми или переносами строк.

После ввода данных нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти результат.

Стандартное отклонение для набора данных может быть вычислено путем первого вычисления дисперсии набора данных и последующего извлечения квадратного корня из дисперсии.

Формула дисперсии - это сумма квадратов разностей между каждой точкой данных и средним значением. Затем это делится на количество точек данных.

Формула дисперсии зависит от того, работаете ли вы с данными из полной генеральной совокупности или с данными, представляющими собой образец набора данных. При работе с полной совокупностью среднее значение делится на размер набора данных (n). Если вы работаете с выборкой, разделите среднее значение на размер набора данных минус один (n - 1).

Формула дисперсии совокупности:

Чтобы узнать отклонение от дисперсии, нужно извлечь квадратный корень из дисперсии:

Формула дисперсии набора данных выборки:

Чтобы получить стандартное отклонение для выборки от дисперсии, извлеките квадратный корень из дисперсии:

К выборке можно применить формулу для стандартного отклонения генеральной совокупности. Вы можете сделать это, используя размер выборки как размер генеральной совокупности. Эта оценка обозначается «sN» и известна как нескорректированное стандартное отклонение выборки.

Математическое определение нескорректированного стандартного отклонения выборки:

{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items

x̄ = mean value of values

N = size of the sample (the square root of the variance)

Результат при использовании смещенной дисперсии выборки для оценки стандартного отклонения генеральной совокупности:

При работе с объективной оценкой стандартного отклонения необходимо помнить, что не существует единой формулы, которая работала бы для всех распределений. Вместо одной формулы в качестве основы используется значение s, которое используется для определения несмещенной оценки с помощью поправочного коэффициента.

unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄

Вы можете найти поправочный коэффициент, используя функцию гаммы:

Из-за «распределения ци» нам нужно найти среднее значение распределения ци. Это среднее значение используется как поправочный коэффициент. Вы можете найти приближение, заменив «N - 1» на «N - 1,5»:

Это приближение лучше всего подходит для всех сценариев, за исключением случаев, когда размер вашей выборки очень мал или вам нужна очень высокая точность. Вы также можете уточнить это приближение, используя следующую формулу вместо «N - 1,5»:

Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))

Лучшая формула для приближения зависит от вашего набора данных, но в большинстве случаев можно использовать следующее приближение:

Y₂ = excess kurtosis

Вы можете оценить избыточный эксцесс на основании данных по следующей формуле:

kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²

excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3

m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴

m₂ = ∑(x−x̅)² / N

Стандартное отклонение является широко используемым статистическим инструментом. Чаще всего отклонение используется в экспериментальных условиях, когда производительность проверяется на реальных данных. Одним из примеров такого рода тестирования производительности является контроль качества.

Помимо контроля качества, отклонение широко используется в мире финансов. Одним из самых популярных финансовых применений стандартного отклонения является измерение риска колебаний цен на финансовые активы.

Стандартное отклонение также является очень полезным инструментом для определения региональных климатических различий. В двух городах может быть одинаковая средняя температура, но стандартное отклонение их температур может сильно различаться. Например, два города с одинаковой средней температурой могут иметь совершенно разные стандартные отклонения. В первом городе может быть очень холодно зимой и очень жарко летом, тогда как в другом городе примерно такая же температура круглый год. В обоих городах будет одинаковая средняя температура, но разница между максимальной и минимальной температурой будет очень большой.

David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.

Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.

Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.

Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html

Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm