Kalkulator Odchylenia Standardowego

Odchylenie standardowe jest miarą statystyczną zmienności lub rozrzutu w danym zbiorze danych. Jeśli odchylenie jest niskie, oznacza to, że punkty danych w zestawie danych są średnio bliższe średniej wartości zestawu danych. Duże odchylenie wskazuje, że istnieje większa zmienność między punktami danych w zestawie danych i wartościami rozłożonymi w większym zakresie.

„SD” oznacza odchylenie standardowe i jest najczęściej używanym skrótem.

Aby obliczyć odchylenie standardowe za pomocą tego kalkulatora, musisz wprowadzić swój zestaw danych do pola tekstowego kalkulatora. Oddziel każdy punkt danych spacjami, przecinkami lub podziałami wierszy.

Po wprowadzeniu danych kliknij przycisk „Oblicz”, aby znaleźć wynik.

Odchylenie standardowe dla zestawu danych można obliczyć, obliczając najpierw wariancję zestawu danych, a następnie wyciągając pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Wzór na wariancję jest sumą kwadratów różnic między każdym punktem danych a średnią. Jest to następnie dzielone przez liczbę punktów danych.

Formuła wariancji zależy od tego, czy pracujesz z danymi, które pochodzą z pełnej populacji, czy z danymi, które są przykładowym zestawem danych. Podczas pracy z pełną populacją średnią dzieli się przez wielkość zbioru danych (n). Jeśli pracujesz z próbką, podziel średnią przez rozmiar zestawu danych minus jeden (n - 1).

Wzór na wariancję populacji to:

Aby znaleźć odchylenie od wariancji, musisz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z wariancji:

Wzór na wariancję przykładowego zbioru danych to:

Aby uzyskać odchylenie standardowe dla próbki z wariancji, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z wariancji:

Do próby można zastosować wzór na odchylenie standardowe populacji. Możesz to zrobić, używając wielkości próbki jako wielkości populacji. Ten estymator jest oznaczony przez „sN” i jest znany jako nieskorygowane odchylenie standardowe próbki.

Matematyczna definicja nieskorygowanego odchylenia standardowego próbki:

{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items

x̄ = mean value of values

N = size of the sample (the square root of the variance)

Wynik przy użyciu obciążonej wariancji próbki do oszacowania odchylenia standardowego populacji to:

Pracując z nieobciążonym oszacowaniem odchylenia standardowego, należy pamiętać, że nie ma jednej formuły, która zadziałałaby dla wszystkich rozkładów. Zamiast pojedynczego wzoru, jako podstawę stosuje się wartość 's', która jest używana do znalezienia nieobciążonego oszacowania za pomocą współczynnika korekcji.

unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄

Współczynnik korekcji można znaleźć za pomocą funkcji Gamma:

Ze względu na „rozkład chi” musimy znaleźć średnią z rozkładu chi. Ta średnia jest używana jako współczynnik korekcji. Możesz znaleźć przybliżenie, zastępując 'N - 1' przez 'N - 1,5':

To przybliżenie najlepiej pasuje do wszystkich scenariuszy, z wyjątkiem sytuacji, gdy wielkość próbki jest bardzo mała lub potrzebujesz bardzo wysokiej precyzji. Możesz również doprecyzować to przybliżenie, używając następującego wzoru zamiast „N - 1,5”:

Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))

Najlepsza formuła aproksymacji zależy od zestawu danych, ale w większości przypadków można użyć następującego przybliżenia:

Y₂ = excess kurtosis

Nadmiar kurtozy można oszacować na podstawie danych za pomocą następującego wzoru:

kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²

excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3

m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴

m₂ = ∑(x−x̅)² / N

Odchylenie standardowe jest szeroko stosowanym narzędziem statystycznym. Najczęstszym zastosowaniem odchylenia jest ustawienia eksperymentalne, w których wydajność jest testowana na danych ze świata rzeczywistego. Jednym z przykładów tego rodzaju testowania wydajności jest kontrola jakości.

Oprócz kontroli jakości odchylenie to jest intensywnie wykorzystywane w świecie finansów. Jednym z najpopularniejszych zastosowań finansowych dla odchylenia standardowego jest pomiar ryzyka wahań cen aktywów finansowych.

Odchylenie standardowe jest również bardzo przydatnym narzędziem do określania regionalnych różnic klimatycznych. Dwa miasta mogą mieć tę samą średnią temperaturę, ale odchylenie standardowe ich temperatur może się znacznie różnić. Na przykład dwa miasta o tej samej średniej temperaturze mogą mieć zupełnie różne odchylenia standardowe. W pierwszym mieście może być bardzo zimno zimą i bardzo gorąco latem, podczas gdy w drugim mieście przez cały rok panuje taka sama temperatura. Oba miasta miałyby taką samą średnią temperaturę, ale różnica między maksymalną a minimalną temperaturą byłaby bardzo duża.

David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.

Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.

Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.

Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html

Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm