標準偏差を計算する
データセットは次のとおりです。
目次
| ◦この計算機の使い方は？ |
| ◦標準偏差の式とは何ですか？ |
| ◦母標準偏差 |
| ◦サンプル標準偏差 |
| ◦未修正のサンプル標準偏差 |
| ◦修正されたサンプル標準偏差 |
| ◦偏りのないサンプル標準偏差 |
| ◦標準偏差の適用 |
| ◦参考文献 |
標準偏差は、特定のデータ セットの変動または分散の統計的尺度です。偏差が小さい場合は、データ セット内のデータ ポイントが平均してデータ セットの平均値に近いことを示します。偏差が大きいということは、データセット内のデータポイント間のばらつきが大きく、値がより広い範囲に広がっていることを示しています。
「SD」は標準偏差を表し、最も広く使用されている略語です。
この計算機の使い方は？
この計算機で標準偏差を計算するには、計算機のテキストフィールドにデータセットを入力する必要があります。各データポイントは、スペース、コンマ、または改行で区切ります。
データを入力したら、「計算」ボタンをクリックして結果を見つけます。
標準偏差の式とは何ですか？
データセットの標準偏差は、最初にデータセットの分散を計算し、次に分散の平方根をとることによって計算できます。
分散の式は、各データポイントと平均の間の差の2乗の合計です。次に、これをデータポイントの数で除算します。
分散式は、完全な母集団からのデータを操作しているかどうか、またはサンプルデータセットであるデータを操作しているかどうかによって異なります。完全な母集団で作業する場合、平均はデータセットのサイズ（n）で除算されます。サンプルを使用する場合は、平均をデータセットのサイズから1を引いた値（n-1）で割ります。
母標準偏差
母分散の式は次のとおりです。
分散からの偏差を見つけるには、分散の平方根を取る必要があります。
サンプル標準偏差
サンプルデータセットの分散の式は次のとおりです。
分散からサンプルの標準偏差を取得するには、分散の平方根を取ります。
未修正のサンプル標準偏差
母標準偏差の式をサンプルに適用することができます。これは、サンプルのサイズを母集団のサイズとして使用することで実行できます。この推定量は「sN」で表され、未補正のサンプル標準偏差として知られています。
未修正のサンプル標準偏差の数学的定義：
{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items
x̄ = mean value of values
N = size of the sample (the square root of the variance)
修正されたサンプル標準偏差
母集団の標準偏差を推定するためにバイアスされた標本分散を使用した場合の結果は次のとおりです。
偏りのないサンプル標準偏差
標準偏差の偏りのない推定を使用する場合、すべての分布で機能する単一の式はないことを覚えておく必要があります。単一の式の代わりに、値「s」が基礎として使用され、これは、補正係数の助けを借りて偏りのない推定値を見つけるために使用されます。
unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄
ガンマ関数を使用して、補正係数を見つけることができます。
「カイ分布」のため、カイ分布の平均を見つける必要があります。この平均は補正係数として使用されます。 'N --1'を 'N --1.5'に置き換えることで近似を見つけることができます。
この近似は、サンプルサイズが非常に小さい場合や非常に高い精度が必要な場合を除いて、すべてのシナリオに最適です。 'N --1.5'の代わりに次の式を使用して、この近似を調整することもできます。
Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))
近似の最適な式はデータセットによって異なりますが、ほとんどの場合、次の近似を使用できます。
Y₂ = excess kurtosis
次の式を使用して、データから過剰尖度を推定できます。
kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²
excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3
m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴
m₂ = ∑(x−x̅)² / N
標準偏差の適用
標準偏差は、広く使用されている統計ツールです。偏差の最も一般的な使用法は、実際のデータに対してパフォーマンスをテストする実験設定です。この種のパフォーマンス テストの例として、品質管理があります。
品質管理に加えて、偏差は金融の世界で頻繁に使用されます。標準偏差の最も一般的な金融アプリケーションの 1 つは、金融資産の価格変動のリスクを測定することです。
標準偏差は、地域の気候差を決定するのに非常に役立つツールでもあります。 2つの都市の平均気温は同じかもしれませんが、気温の標準偏差は大きく異なる可能性があります。たとえば、平均気温が同じ2つの都市では、標準偏差が完全に異なる場合があります。最初の都市は冬は非常に寒く、夏は非常に暑くなる可能性がありますが、他の都市は年間を通じてほぼ同じ気温です。両方の都市の平均気温は同じですが、最高気温と最低気温の差は非常に大きくなります。
参考文献
David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.
Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.
Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.
Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html
Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm
記事の著者
John Cruz
ジョンは数学と教育に情熱を持っている博士課程の学生です。ジョンは自由時間にハイキングやサイクリングに行くのが好きです。
標準偏差計算機 日本語
公開済み: Sun Jul 11 2021
カテゴリ数学的計算機
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