حاسبة الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو مقياس إحصائي للتباين أو التشتت في مجموعة بيانات معينة. إذا كان الانحراف منخفضًا ، فهذا يشير إلى أن نقاط البيانات في مجموعة البيانات أقرب في المتوسط إلى القيمة المتوسطة لمجموعة البيانات. يشير الانحراف العالي إلى وجود تباين أكبر بين نقاط البيانات في مجموعة البيانات والقيم موزعة على نطاق أكبر.

يشير "SD" إلى الانحراف المعياري وهو الاختصار الأكثر استخدامًا.

لحساب الانحراف المعياري باستخدام هذه الآلة الحاسبة ، تحتاج إلى إدخال مجموعة بياناتك في حقل نص الآلة الحاسبة. افصل بين كل نقطة بيانات بمسافات أو فواصل أو فواصل أسطر.

بعد إدخال البيانات الخاصة بك ، انقر فوق الزر "حساب" للعثور على النتيجة.

يمكن حساب الانحراف المعياري لمجموعة البيانات من خلال حساب التباين الأول لمجموعة البيانات ثم أخذ الجذر التربيعي للتباين.

معادلة التباين هي مجموع تربيع الفروق بين كل نقطة بيانات والمتوسط. ثم يتم تقسيمها على عدد نقاط البيانات.

تعتمد صيغة التباين على ما إذا كنت تعمل باستخدام بيانات من مجتمع كامل ، أو إذا كنت تعمل مع بيانات تمثل عينة مجموعة بيانات. عند العمل مع مجتمع كامل ، يتم قسمة المتوسط على حجم مجموعة البيانات (n). إذا كنت تعمل مع عينة ، فقسّم المتوسط على حجم مجموعة البيانات مطروحًا منه واحدًا (ن - 1).

صيغة تباين السكان هي:

لمعرفة الانحراف عن التباين ، عليك أن تأخذ الجذر التربيعي للتباين:

معادلة اختلاف مجموعة البيانات النموذجية هي:

للحصول على الانحراف المعياري للعينة من التباين ، خذ الجذر التربيعي للتباين:

من الممكن تطبيق صيغة الانحراف المعياري للمجتمع على العينة. يمكنك القيام بذلك باستخدام حجم العينة كحجم السكان. يُشار إلى هذا المقدّر بـ "sN" ويُعرف باسم الانحراف المعياري للعينة غير المصححة.

التعريف الرياضي للانحراف المعياري للعينة غير المصححة:

{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items

x̄ = mean value of values

N = size of the sample (the square root of the variance)

النتيجة عند استخدام تباين العينة المتحيزة لتقدير الانحراف المعياري للمجتمع هي:

عند العمل باستخدام التقدير غير المتحيز للانحراف المعياري ، عليك أن تتذكر أنه لا توجد صيغة واحدة تعمل مع جميع التوزيعات. بدلاً من صيغة واحدة ، يتم استخدام القيم كأساس ، ويستخدم هذا لمعرفة التقدير غير المتحيز بمساعدة عامل التصحيح.

unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄

يمكنك إيجاد عامل التصحيح باستخدام وظيفة جاما:

بسبب "توزيع chi" نحتاج إلى معرفة متوسط توزيع chi. يستخدم هذا الوسط كعامل تصحيح. يمكنك إيجاد تقريب باستبدال "N - 1" بـ "N - 1.5":

هذا التقريب هو الأنسب لجميع السيناريوهات ، إلا إذا كان حجم عينتك صغيرًا جدًا أو كنت بحاجة إلى دقة عالية جدًا. يمكنك أيضًا تحسين هذا التقريب باستخدام الصيغة التالية بدلاً من "N - 1.5":

Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))

تعتمد أفضل صيغة للتقريب على مجموعة البيانات الخاصة بك ، ولكن يمكن استخدام التقريب التالي في معظم الحالات:

Y₂ = excess kurtosis

يمكنك تقدير التفرطح الزائد من البيانات بالصيغة التالية:

kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²

excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3

m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴

m₂ = ∑(x−x̅)² / N

الانحراف المعياري هو أداة إحصائية مستخدمة على نطاق واسع. الاستخدام الأكثر شيوعًا للانحراف هو في الإعدادات التجريبية حيث يتم اختبار الأداء مقابل بيانات العالم الحقيقي. أحد الأمثلة على هذا النوع من اختبارات الأداء هو مراقبة الجودة.

بالإضافة إلى مراقبة الجودة ، يستخدم الانحراف بكثرة في عالم التمويل. أحد أكثر التطبيقات المالية شيوعًا للانحراف المعياري هو قياس مخاطر تقلبات أسعار الأصول المالية.

الانحراف المعياري هو أيضًا أداة مفيدة جدًا في تحديد الاختلافات المناخية الإقليمية. قد يكون لمدينتين نفس متوسط درجة الحرارة ، ولكن قد يختلف الانحراف المعياري لدرجات الحرارة بشكل كبير. على سبيل المثال ، قد يكون لمدينتين بنفس متوسط درجة الحرارة انحرافات معيارية مختلفة تمامًا. يمكن أن تكون المدينة الأولى شديدة البرودة في الشتاء وحارة جدًا في الصيف ، حيث تتمتع المدينة الأخرى بنفس درجة الحرارة تقريبًا على مدار العام. سيكون لكلتا المدينتين نفس متوسط درجة الحرارة ، لكن الفرق بين درجة الحرارة العظمى والصغرى سيكون كبيرًا جدًا.

David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.

Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.

Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.

Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html

Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm