计算标准偏差
数据集是:
目录
◦这个计算器怎么用? |
◦什么是标准差公式? |
◦人口标准差 |
◦样本标准差 |
◦未校正样本标准偏差 |
◦修正样本标准偏差 |
◦无偏样本标准差 |
◦标准差的应用 |
◦参考 |
标准偏差是给定数据集中变化或分散的统计量度。如果偏差较低,则表明数据集中的数据点平均更接近数据集的平均值。高偏差表明数据集中的数据点之间存在更大的可变性,并且值分布在更大的范围内。
“SD”代表标准差,是使用最广泛的缩写。
这个计算器怎么用?
要使用此计算器计算标准偏差,您需要将数据集输入到计算器的文本字段中。用空格、逗号或换行符分隔每个数据点。
输入数据后,单击“计算”按钮以查找结果。
什么是标准差公式?
数据集的标准偏差可以通过先计算数据集的方差,然后取方差的平方根来计算。
方差公式是每个数据点与平均值之间的平方差之和。然后除以数据点的数量。
方差公式取决于您是处理来自完整总体的数据,还是处理样本数据集的数据。处理完整总体时,均值除以数据集的大小 (n)。如果您使用样本,请将平均值除以数据集的大小减去一 (n - 1)。
人口标准差
总体方差的公式为:
![总体标准差的方差](/calculators/population-variance.png)
要找出方差的偏差,您需要取方差的平方根:
![总体的标准差](/calculators/population-standard-deviation.png)
样本标准差
样本数据集方差的公式为:
![样本数据集标准差的方差](/calculators/sample-variance.png)
要从方差中获得样本的标准偏差,请取方差的平方根:
![样本的标准偏差](/calculators/sample-standard-deviation.png)
未校正样本标准偏差
可以将总体标准差的公式应用于样本。您可以通过使用样本大小作为总体大小来做到这一点。这个估计量用“sN”表示,它被称为未校正样本标准偏差。
未校正样本标准差的数学定义:
![未校正样本标准偏差的定义](/calculators/uncorrected-sample-standard-deviation-formula.png)
{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items
x̄ = mean value of values
N = size of the sample (the square root of the variance)
修正样本标准偏差
使用有偏样本方差估计总体标准差时的结果是:
![校正样本标准偏差的公式](/calculators/corrected-sample-standard-deviation-formula.png)
无偏样本标准差
在使用标准差的无偏估计时,您需要记住没有一个公式适用于所有分布。不是单一的公式,而是使用值 's' 作为基础,这用于在校正因子的帮助下找出无偏估计。
unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄
您可以使用 Gamma 函数找到校正因子:
![无偏样本偏差的伽玛函数](/calculators/gamma-function-for-unbiased-sample-standard-deviation.png)
由于“卡分布”,我们需要找出卡分布的平均值。该平均值用作校正因子。您可以通过将 'N - 1' 替换为 'N - 1.5' 来找到近似值:
![无偏样本偏差的近似值](/calculators/unbiased-sample-standard-deviation-approximation.png)
这种近似值最适合所有场景,除非您的样本量非常小或您需要非常高的精度。您还可以使用以下公式而不是“N - 1.5”来优化此近似值:
Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))
近似值的最佳公式取决于您的数据集,但在大多数情况下可以使用以下近似值:
![无偏样本标准差的精炼近似](/calculators/unbiased-sample-standard-deviation-refined-approximation.png)
Y₂ = excess kurtosis
您可以使用以下公式从数据中估计超额峰度:
kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²
excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3
m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴
m₂ = ∑(x−x̅)² / N
标准差的应用
标准差是一种广泛使用的统计工具。偏差最常见的用法是在实验设置中,根据实际数据测试性能。这种性能测试的一个例子是质量控制。
除了质量控制之外,偏差在金融领域也被大量使用。标准差最流行的金融应用之一是衡量金融资产价格波动的风险。
标准偏差也是确定区域气候差异的一个非常有用的工具。两个城市的平均温度可能相同,但它们的温度标准差可能相差很大。例如,具有相同平均温度的两个城市可能具有完全不同的标准偏差。第一个城市冬天可能很冷,夏天很热,而另一个城市全年的温度大致相同。两个城市的平均温度相同,但最高和最低温度之间的差异会非常大。
参考
David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.
Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.
Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.
Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html
Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm
文章作者
John Cruz
约翰是一名对数学和教育充满热情的博士生。在空闲时间,约翰喜欢远足和骑自行车。
标准差计算器 普通话
已发表: Sun Jul 11 2021
在类别 数学计算器 中
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