Калькулятор Стандартного Відхилення

Стандартне відхилення — це статистичний показник варіації або дисперсії в даному наборі даних. Якщо відхилення низьке, це означає, що точки даних у наборі даних у середньому ближчі до середнього значення набору даних. Високе відхилення вказує на те, що існує більша мінливість між точками даних у наборі даних і значеннями, розподіленими в більшому діапазоні.

"SD" означає стандартне відхилення і є найпоширенішою абревіатурою.

Щоб обчислити стандартне відхилення за допомогою цього калькулятора, потрібно ввести набір даних у текстове поле калькулятора. Кожну точку даних розділяйте пробілами, комами або розривами рядків.

Після введення даних натисніть кнопку «Обчислити», щоб знайти результат.

Стандартне відхилення для набору даних може бути обчислено шляхом першого обчислення дисперсії набору даних, а потім з урахуванням квадратного кореня дисперсії.

Формула дисперсії - це сума квадратів різниць між кожною точкою даних та середнім значенням. Потім це ділиться на кількість точок даних.

Формула дисперсії залежить від того, чи працюєте ви з даними, які належать до повної сукупності, або якщо ви працюєте з даними, які є вибірковим набором даних. При роботі з повною сукупністю середнє значення ділиться на розмір набору даних (n). Якщо ви працюєте зі зразком, розділіть середнє значення на розмір набору даних мінус один (n - 1).

Формула дисперсії населення така:

Щоб дізнатися відхилення від дисперсії, потрібно витягти квадратний корінь з дисперсії:

Формула дисперсії вибіркового набору даних така:

Щоб отримати стандартне відхилення вибірки від дисперсії, візьміть квадратний корінь дисперсії:

До вибірки можна застосувати формулу стандартного відхилення сукупності. Ви можете зробити це, використовуючи розмір вибірки як розмір сукупності. Ця оцінка позначається "sN" і відома як стандартне відхилення вибірки.

Математичне визначення стандартного відхилення вибірки:

{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items

x̄ = mean value of values

N = size of the sample (the square root of the variance)

Результатом при використанні упередженої вибіркової дисперсії для оцінки стандартного відхилення сукупності є:

Працюючи з неупередженою оцінкою стандартного відхилення, потрібно пам’ятати, що немає єдиної формули, яка б працювала для всіх розподілів. Замість єдиної формули в якості основи використовується значення 's', яке використовується для з'ясування неупередженої оцінки за допомогою поправочного коефіцієнта.

unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄

Ви можете знайти корекційний коефіцієнт за допомогою функції Гамма:

Через "розподіл ци" нам потрібно з'ясувати середнє значення розподілу ци. Це середнє значення використовується як поправочний коефіцієнт. Ви можете знайти наближення, замінивши "N - 1" на "N - 1,5":

Це наближення найкраще підходить для всіх сценаріїв, за винятком випадків, коли розмір вибірки дуже малий або вам потрібна дуже висока точність. Ви також можете уточнити це наближення, використовуючи таку формулу замість 'N - 1,5':

Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))

Найкраща формула наближення залежить від вашого набору даних, але в більшості випадків можна використати наступне наближення:

Y₂ = excess kurtosis

Ви можете оцінити надлишок куртозу за даними за такою формулою:

kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²

excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3

m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴

m₂ = ∑(x−x̅)² / N

Стандартне відхилення є широко використовуваним статистичним інструментом. Найчастіше відхилення використовується в експериментальних умовах, у яких продуктивність перевіряється на реальних даних. Одним із прикладів такого роду тестування продуктивності є контроль якості.

На додаток до контролю якості, відхилення активно використовується у світі фінансів. Одним із найпопулярніших фінансових застосувань стандартного відхилення є вимірювання ризику коливання цін на фінансові активи.

Стандартне відхилення також є дуже корисним інструментом для визначення регіональних кліматичних відмінностей. У двох містах може бути однакова середня температура, але стандартне відхилення їх температури може сильно варіювати. Наприклад, два міста з однаковою середньою температурою можуть мати абсолютно різні стандартні відхилення. Перше місто може бути дуже холодним взимку і дуже спекотним влітку, де, як і в іншому місті, температура приблизно однакова протягом року. Обидва міста мали б однакову середню температуру, але різниця між максимальною та мінімальною температурою була б дуже великою.

David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.

Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.

Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.

Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html

Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm