Αριθμομηχανή Τυπικής Απόκλισης

Η τυπική απόκλιση είναι ένα στατιστικό μέτρο για τη διακύμανση ή τη διασπορά σε ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων. Εάν η απόκλιση είναι χαμηλή, υποδηλώνει ότι τα σημεία δεδομένων στο σύνολο δεδομένων είναι κατά μέσο όρο πιο κοντά στη μέση τιμή του συνόλου δεδομένων. Μια υψηλή απόκλιση υποδηλώνει ότι υπάρχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα μεταξύ των σημείων δεδομένων στο σύνολο δεδομένων και των τιμών που κατανέμονται σε ένα μεγαλύτερο εύρος.

Το "SD" σημαίνει τυπική απόκλιση και είναι η πιο διαδεδομένη συντομογραφία.

Για να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση με αυτήν την αριθμομηχανή, πρέπει να εισαγάγετε το σύνολο δεδομένων σας στο πεδίο κειμένου της αριθμομηχανής. Διαχωρίστε κάθε σημείο δεδομένων με κενά, κόμματα ή αλλαγές γραμμών.

Αφού εισαγάγετε τα δεδομένα σας, κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός" για να βρείτε το αποτέλεσμα.

Η τυπική απόκλιση για ένα σύνολο δεδομένων μπορεί να υπολογιστεί με τον πρώτο υπολογισμό της διακύμανσης του συνόλου δεδομένων και στη συνέχεια με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Ο τύπος διακύμανσης είναι το άθροισμα των τετραγωνισμένων διαφορών μεταξύ κάθε σημείου δεδομένων και του μέσου όρου. Στη συνέχεια διαιρείται με τον αριθμό των σημείων δεδομένων.

Ο τύπος διακύμανσης εξαρτάται από το αν εργάζεστε με δεδομένα που προέρχονται από πλήρη πληθυσμό ή αν εργάζεστε με δεδομένα που αποτελούν δείγμα συνόλου δεδομένων. Όταν εργάζεστε με πλήρη πληθυσμό, ο μέσος όρος διαιρείται με το μέγεθος του συνόλου δεδομένων (n). Εάν εργάζεστε με ένα δείγμα, διαιρέστε το μέσο όρο ανά μέγεθος του συνόλου δεδομένων μείον ένα (n - 1).

Ο τύπος για τη διακύμανση του πληθυσμού είναι:

Για να μάθετε την απόκλιση από τη διακύμανση, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Ο τύπος για τη διακύμανση του δείγματος συνόλου δεδομένων είναι:

Για να λάβετε την τυπική απόκλιση για το δείγμα από τη διακύμανση, πάρτε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Είναι δυνατόν να εφαρμοστεί ο τύπος για την τυπική απόκλιση του πληθυσμού στο δείγμα. Μπορείτε να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας το μέγεθος του δείγματος ως μέγεθος πληθυσμού. Αυτός ο εκτιμητής συμβολίζεται με "sN" και είναι γνωστός ως τυπική απόκλιση δείγματος χωρίς διόρθωση.

Μαθηματικός ορισμός τυπικής απόκλισης χωρίς διόρθωση δείγματος:

{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items

x̄ = mean value of values

N = size of the sample (the square root of the variance)

Το αποτέλεσμα όταν χρησιμοποιείται η μεροληπτική διακύμανση δείγματος για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού είναι:

Όταν εργάζεστε με την αμερόληπτη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης, πρέπει να θυμάστε ότι δεν υπάρχει ένας μοναδικός τύπος που να λειτουργεί για όλες τις διανομές. Αντί για έναν μόνο τύπο, η τιμή 's' χρησιμοποιείται ως βάση, και αυτή χρησιμοποιείται για να μάθει την αμερόληπτη εκτίμηση με τη βοήθεια του συντελεστή διόρθωσης.

unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄

Μπορείτε να βρείτε τον συντελεστή διόρθωσης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Gamma:

Λόγω της «κατανομής τσι» πρέπει να μάθουμε το μέσο όρο της κατανομής τσι. Αυτός ο μέσος όρος χρησιμοποιείται ως συντελεστής διόρθωσης. Μπορείτε να βρείτε προσέγγιση αντικαθιστώντας το "N - 1" με το "N - 1,5":

Αυτή η προσέγγιση ταιριάζει καλύτερα σε όλα τα σενάρια, εκτός εάν το μέγεθος του δείγματος σας είναι πολύ μικρό ή χρειάζεστε πολύ υψηλή ακρίβεια. Μπορείτε επίσης να βελτιώσετε αυτήν την προσέγγιση χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο αντί για "N - 1.5":

Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))

Ο καλύτερος τύπος προσέγγισης εξαρτάται από το σύνολο δεδομένων σας, αλλά η ακόλουθη προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις περισσότερες περιπτώσεις:

Y₂ = excess kurtosis

Μπορείτε να εκτιμήσετε την περίσσεια kurtosis από τα δεδομένα με τον ακόλουθο τύπο:

kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²

excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3

m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴

m₂ = ∑(x−x̅)² / N

Η τυπική απόκλιση είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο στατιστικό εργαλείο. Η πιο κοινή χρήση για την απόκλιση είναι σε πειραματικές ρυθμίσεις στις οποίες η απόδοση ελέγχεται έναντι δεδομένων πραγματικού κόσμου. Ένα παράδειγμα αυτού του είδους δοκιμών απόδοσης είναι ο ποιοτικός έλεγχος.

Εκτός από τον ποιοτικό έλεγχο, η απόκλιση χρησιμοποιείται σε μεγάλο βαθμό στον κόσμο των οικονομικών. Μία από τις πιο δημοφιλείς χρηματοοικονομικές εφαρμογές για την τυπική απόκλιση είναι η μέτρηση του κινδύνου στις διακυμάνσεις των τιμών των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων.

Η τυπική απόκλιση είναι επίσης ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τον προσδιορισμό των περιφερειακών κλιματικών διαφορών. Δύο πόλεις μπορεί να έχουν την ίδια μέση θερμοκρασία, αλλά η τυπική απόκλιση των θερμοκρασιών τους μπορεί να ποικίλει πολύ. Για παράδειγμα, δύο πόλεις με την ίδια μέση θερμοκρασία μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικές τυπικές αποκλίσεις. Η πρώτη πόλη θα μπορούσε να είναι πολύ κρύα το χειμώνα και πολύ ζεστή το καλοκαίρι, όπου η άλλη πόλη έχει περίπου την ίδια θερμοκρασία όλο το χρόνο. Και οι δύο πόλεις θα έχουν την ίδια μέση θερμοκρασία, αλλά η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης θερμοκρασίας θα είναι πολύ μεγάλη.

David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.

Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.

Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.

Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html

Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm