Αριθμομηχανή Πιθανοτήτων

Ο υπολογιστής πιθανοτήτων είναι ένα χρήσιμο εργαλείο κατά τη διερεύνηση των σχέσεων μεταξύ γεγονότων, όπως η πιθανότητα να συμβεί το Α και η πιθανότητα να συμβεί το Β. Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα να συμβεί το Α είναι 50%, και το ίδιο για το Β, ποιες είναι οι πιθανότητες να συμβούν και τα δύο, να συμβεί μόνο το ένα, τουλάχιστον το ένα να συμβεί ή να μην συμβεί κανένα και ούτω καθεξής;

Ο υπολογιστής πιθανοτήτων μας σάς βοηθά να δείτε την πιθανότητα έξι διαφορετικών σεναρίων. Επιπλέον, όταν εισάγετε πόσες φορές το "die is cast", σας παρέχει τέσσερα ακόμη σενάρια. Με αυτόν τον τρόπο, δεν χρειάζεται να κάνετε μόνοι σας όλους τους υπολογισμούς. Απλώς πληκτρολογήστε τους αριθμούς και η αριθμομηχανή μας θα αναλάβει τα υπόλοιπα!

Η πιθανότητα είναι ένας τρόπος σκέψης για αβέβαιες καταστάσεις και χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς, όπως ο τζόγος, η λήψη αποφάσεων και η στατιστική. Ο ορισμός της πιθανότητας που δίνεται σε αυτό το μάθημα είναι ο πιο βασικός και θεμελιώδης ορισμός του θέματος.

Η πιθανότητα έχει να κάνει με τη μελέτη της τύχης και μια από τις πιο σημαντικές έννοιες που πρέπει να κατανοήσουμε είναι εάν τα γεγονότα εξαρτώνται ή όχι. Δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση του πρώτου δεν επηρεάζει την πιθανότητα να συμβεί και του δεύτερου. Αυτό είναι απίστευτα σημαντικό, γιατί καθορίζει πώς μπορούμε να υπολογίσουμε τα πιθανά αποτελέσματα. Αν ρίξουμε μια τέλεια ισορροπημένη τυπική κυβική μήτρα, υπάρχει πιθανότητα 1/6 να πάρουμε δύο.

Παρόλο που τα ζάρια έχουν συνδεθεί μεταξύ τους σε αυτό το παράδειγμα, η πιθανότητα να λάβετε δύο ⚁ στη δεύτερη στροφή εξακολουθεί να είναι 1/6 επειδή τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να λάβετε τουλάχιστον ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα, όπως δύο ⚁ στην πρώτη στροφή, δεν εξαρτάται από το τι θα συμβεί στα ζάρια στη δεύτερη στροφή.

Κατά πάσα πιθανότητα, υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι εξέτασης ενός σεναρίου. Αυτή τη φορά, θα μιλήσουμε για πιθανότητες υπό όρους. Ας υποθέσουμε ότι παίζετε ένα παιχνίδι τένις και ένας από τους αντιπάλους σας πλησιάζει στο φιλέ. Ανάλογα με τη γωνία με την οποία χτυπούν την μπάλα, μπορεί να είναι δυνατό να στείλουν τη μπάλα πέρα από τον αντίπαλό τους με ένα σουτ. Ωστόσο, εάν ο αντίπαλός τους σκάσει όταν δει την μπάλα να έρχεται, η μπάλα πιθανότατα θα αναπηδήσει από το έδαφος και ο αντίπαλός τους μπορεί να την πιάσει. Αυτό είναι ένα παράδειγμα μιας κατάστασης όπου σκέφτεστε το παιχνίδι από την άποψη των γεγονότων (χτύπημα της μπάλας) και των αποτελεσμάτων.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η θεωρητική πιθανότητα ορίζεται ως η αναλογία μεταξύ του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων προς τον αριθμό κάθε πιθανού αποτελέσματος. Ωστόσο, υπάρχει διαφορά μεταξύ της θεωρητικής πιθανότητας και της πειραματικής πιθανότητας. Ο επίσημος ορισμός της πειραματικής πιθανότητας είναι η αναλογία μεταξύ του αριθμού των αποτελεσμάτων που εμπίπτουν σε μια συγκεκριμένη κατηγορία (το πείραμα) προς τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων. Ο πειραματικός σχεδιασμός βασίζεται στις δεδομένες πληροφορίες, στη λογική συλλογιστική και στο να μας λέει τι να περιμένουμε από το πείραμα. Στην ιδανική περίπτωση, αυτές οι πληροφορίες θα προέρχονται από την υπόθεση που ελέγχεται. Αφού συγκεντρώσετε αυτές τις πληροφορίες, ο πειραματικός σχεδιασμός θα σας βοηθήσει να σχεδιάσετε το πείραμα με τρόπο που θα επικυρώσει ή θα ακυρώσει την υπόθεσή σας.

Στο παιχνίδι των 42 μαρμάρων, μια μπάλα επιλέγεται τυχαία και επανατοποθετείται στην τσάντα για άπειρες φορές. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν πάντα 42 μπάλες στην τσάντα, εκ των οποίων οι 18 είναι πορτοκαλί. Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να διαλέξουμε ένα συγκεκριμένο χρώμα διαιρώντας τον αριθμό των σφαιρών αυτού του χρώματος με τον συνολικό αριθμό των σφαιρών στη τσάντα (42). Αυτό απλοποιείται σε 3/7 ή η πιθανότητα είναι 18/42, που σημαίνει ότι από κάθε 14 μπάλες που θα συλλεχθούν, θα πρέπει να υπάρχουν 3 πορτοκαλί μπάλες.

Η πιθανότητα είναι μια μαθηματική επιστήμη που ασχολείται με την πιθανότητα να συμβεί κάτι. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει τι θα συμβεί ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης ενός πειράματος ή για να κατανοήσει τις πιθανότητες να συμβεί κάτι σε μια δεδομένη κατάσταση. Σε αυτό το παράδειγμα, θα χρησιμοποιήσουμε την πειραματική πιθανότητα για να καταλάβουμε τι συνέβη όταν διαλέξαμε ένα μάρμαρο από μια τσάντα και επαναλάβαμε τη διαδικασία 13 ακόμη φορές. Ας υποθέσουμε ότι πήραμε 8 πορτοκαλί μπάλες σε 14 δοκιμές. Αυτό μας δίνει την εμπειρική πιθανότητα 8 στα 14, ή 44%.

Θα υπάρξουν φορές που θα διαλέξετε περισσότερα φύλλα, φορές που θα πάρετε λιγότερα και φορές που θα επιλέξετε τον προβλεπόμενο αριθμό. Το αποτέλεσμα, ωστόσο, θα διαφέρει από το θεωρητικό. Αυτό συμβαίνει επειδή όταν προσπαθείτε να επαναλαμβάνετε αυτό το παιχνίδι ξανά και ξανά, μερικές φορές, θα επιλέγετε περισσότερα, και μερικές φορές θα παίρνετε λιγότερα, και μερικές φορές θα διαλέγετε ακριβώς τον αριθμό που προβλέπεται θεωρητικά. Αν συνοψίσετε όλα τα αποτελέσματα, θα πρέπει να παρατηρήσετε ότι η συνολική πιθανότητα πλησιάζει όλο και περισσότερο τη θεωρητική πιθανότητα. Εάν όχι, τότε μπορεί να υπάρχει ασυμφωνία μεταξύ αυτού που βλέπετε και του υποθετικού αποτελέσματος - αυτό θα μπορούσε να συμβαίνει, για παράδειγμα, εάν μερικές μπάλες στην τσάντα είναι διαφορετικών χρωμάτων και μεγεθών. Για να λάβετε μια ακριβή εκτίμηση, θα χρειαστεί να τυχαιοποιήσετε τη διαδικασία επιλογής.

Η στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη συλλογή, ερμηνεία, ανάλυση, παρουσίαση και ερμηνεία δεδομένων. Η πιθανότητα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά την πιθανότητα γεγονότων και τα αποτελέσματά τους. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε αυτές τις διαφορές, καθώς μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετικά συμπεράσματα σε διαφορετικές καταστάσεις.

Η πιθανότητα είναι ένα θεωρητικό πεδίο των μαθηματικών που ασχολείται με πράγματα όπως μαθηματικούς ορισμούς και θεωρήματα. Αντίθετα, η στατιστική είναι μια πρακτική εφαρμογή των μαθηματικών που προσπαθεί να αποδώσει αίσθηση και κατανόηση των παρατηρήσεων στον πραγματικό κόσμο. Οι στατιστικές μπορούν να χωριστούν σε δύο κύριους κλάδους - περιγραφικές και συμπερασματικές. Η περιγραφική στατιστική εξετάζει τις περιγραφικές ιδιότητες ενός πληθυσμού, όπως μετρήσεις, μέσα και τυπικές αποκλίσεις. Η συμπερασματική στατιστική χρησιμοποιεί στατιστικές μεθόδους για την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με έναν πληθυσμό από δείγματα, είτε από ένα πείραμα είτε από παρατηρήσεις που λαμβάνονται από τον πραγματικό κόσμο.

Η πιθανότητα είναι η ικανότητα πρόβλεψης της πιθανότητας γεγονότων, ενώ η στατιστική είναι η μελέτη της συχνότητας παρελθουσών περιστατικών. Μέχρι το τέλος του μαθήματος, θα έχετε μια βαθύτερη κατανόηση αυτών των εννοιών και θα μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε για να μοντελοποιήσετε δεδομένα του πραγματικού κόσμου.

Ας υποθέσουμε ότι παίζετε ένα τυχερό παιχνίδι, όπου κάθε φύλλο επιλέγεται με την ίδια πιθανότητα και στόχος σας είναι να κερδίσετε. Σε αυτήν την περίπτωση, θα μπορούσατε να στοιχηματίσετε με βάση τις πιθανότητες - δηλαδή, την πιθανότητα το φύλλο που επιλέξατε να είναι φτυάρι. Υποθέτοντας ότι το κατάστρωμα είναι πλήρες και η επιλογή είναι εντελώς τυχαία και δίκαιη, θα μπορούσατε να συμπεράνετε ότι η πιθανότητα είναι ίση με ¼. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να στοιχηματίσετε με σιγουριά.

Ένας στατιστικολόγος θα παρακολουθήσει το παιχνίδι για λίγο για να αξιολογήσει τη δικαιοσύνη προτού συμβουλευτεί τον πιθανολόγο για τις ενέργειες που πρέπει να κάνει για να έχει τις καλύτερες πιθανότητες να κερδίσει. Αφού συμφωνήσουν ότι αξίζει τον κόπο να παίξουν το παιχνίδι, οι πιθανοί θα συμβουλεύσουν ποια βήματα πρέπει να κάνουν για να βελτιώσουν τις πιθανότητές τους.