Kalkulator Rozkładu QR

W algebrze liniowej faktoryzacja złożonej macierzy ułatwia analizę. Rozkład QR to rozkład macierzy, który jest powszechnie używany do rozwiązywania układów liniowych, uzyskiwania wartości własnych i obliczeń związanych z wyznacznikami. Dekompozycja QR jest również wykorzystywana w uczeniu maszynowym i jego aplikacjach.

Nasz kalkulator rozkładu QR obliczy górną macierz trójkątną i macierz ortogonalną z podanej macierzy.

Aby skorzystać z naszego kalkulatora:

1. Dodaj rozmiar macierzy (kolumny <= wiersze)

2. Wstaw punkty matrycy

3. Wybierz precyzję zaokrąglania

4. Zobacz wyniki

Na tej stronie dowiesz się również, jak obliczyć rozkład QR za pomocą procesu Grama-Schmidta i gdzie w rzeczywistości stosuje się kompozycję QR.

Rozkład QR to technika używana do przekształcenia macierzy do postaci A = QR, gdzie R to macierz górnego trójkąta, Q to macierz ortogonalna, a Q^(T)Q=I zachodzi, gdzie Q^(T) to Qs' transponować, a ja jest tożsamością matryc.

Rozkład QR jest również znany jako faktoryzacja QR i faktoryzacja QU i jest powszechnie stosowany w rozwiązywaniu równań układów liniowych.

Rozkład QR można przeprowadzić różnymi metodami. Obejmują one proces Grama-Schmidta, transformacje Householder i rotacje Givens.

Przejdziemy przez proces Grama-Schmidta, a oto przewodnik krok po kroku, jak obliczyć za jego pomocą rozkład QR:

A = QR,

A = podana macierz

Q = macierz ortogonalna

R = Górna macierz trójkątna

1. Zdefiniuj macierz A

2. Weź kolumny A i przetwórz je w procesie Grama-Schmidta. W rezultacie otrzymujesz wektory ortonormalne: e1, e2, ..., en.

3. Utwórz macierz Q z tych wektorów, używając wektorów jako kolumn.

4. Utwórz macierz R przez pomnożenie od lewej A z transpozycją Q (R = QᵀA)

Proszę bardzo! Udało Ci się obliczyć rozkład QR i założyć zarówno macierz ortogonalną, jak i macierz górnego trójkąta!

Proces Grama-Schmidta to sekwencja operacji zaprojektowana do przekształcenia zbioru liniowo niezależnych wektorów w równoważny zbiór wektorów ortonormalnych.

Obliczenie Grama-Schmidta jest narzędziem matematycznym używanym do określenia optymalnego dopasowania między dwoma zestawami danych. Jest często używany w uczeniu maszynowym i analizie danych i może być pomocny przy próbach znalezienia najlepszych algorytmów lub modeli do przewidywania wyników. Krótko mówiąc, algorytm Grama-Schmidta bierze dwa zestawy danych — powiedzmy teksty ze zbioru treningowego i predykcje wykonane na podstawie modelu opartego na tych danych — i tworzy między nimi wynik podobieństwa. Im wyższy wynik, tym bardziej podobne są zestawy.

Proces Grama-Schmidta jest powszechnie stosowany, ponieważ przetwarza obliczenia w bazie ortonormalnej, która często jest znacznie łatwiejszą bazą do wykonania obliczeń.

Faktoryzacja A = rozkład QR macierzy A jest użyteczną techniką szacowania wartości własnych. Istnieje zawsze, gdy ranga A jest równa liczbie kolumn A.

Koncepcja faktoryzacji QR jest bardzo przydatną ramą dla różnych aplikacji statystycznych i analizy danych. Jednym z nich jest rozwiązanie problemów najmniejszych kwadratów.

Faktoryzacja QR jest również powszechnie używanym komponentem w uczeniu maszynowym i jego zastosowaniach. Może być używany na przykład do automatycznego usuwania obiektu z obrazu. Innym przykładem jest wyodrębnienie obrazu z klipu wideo.

Gander, W., 1980. Algorytmy rozkładu QR. Res. Rep, 80(02), s.1251-1268.

Goodall, CR, 1993. 13 Obliczenia z wykorzystaniem rozkładu QR.